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二次函数抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b^2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a一同决定对称轴的地方。当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左; 由于若对称轴在左侧则对称轴小于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。由于对称轴在右侧则对称轴要大于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。事实上，b有其自己的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数分析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数= b^2;-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。= b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。= b^2-4ac0时，抛物线与x轴没交点。X的取值是虚数(x= -bb^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)当a0时，函数在x= -b/2a处获得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a;在{x|x-b/2a}上是减函数，在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这个时候，函数是偶函数，分析式变形为y=ax^2+c(a0)7.特殊值的形式①当x=1时 y=a+b+c②当x=-1时 y=a-b+c③当x=2时 y=4a+2b+c④当x=-2时 y=4a-2b+c8.概念域：R值域：(对应分析式，且只讨论a大于0的状况，a小于0的状况请读者自行判断)①[(4ac-b^2)/4a，正无穷);②[t，正无穷)奇偶性：偶函数周期性：无分析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a0⑵a0，则抛物线开口朝上;a0，则抛物线开口朝下;⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);⑷=b^2-4ac,0，图象与x轴交于两点：([-b-]/2a，0)和([-b+]/2a，0);=0，图象与x轴交于一点：(-b/2a，0);0，图象与x轴无交点;②y=a(x-h)^2+k[顶点式]此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a0)对称轴X=(X1-X2)/2 当a0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X≦(X1+X2)/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出分析式(一般与一元二次方程连用)。
